Elementargeometrie - Quizchen

Falls die Formeln in ihrem Browser nicht vernünftig dargestellt werden, den Browser wechseln (Firefox geht, siehe auch hier).

Es ist ein multiple-choice-Quiz (es kann mehr als eine Antwort pro Frage richtig sein; es ist immer mindestens eine Antwort richtig; es können auch alle richtig sein).

1. Welche Inzidenzstruktur wird durch das Bild veranschaulicht?

$P = {A, B, C, D}$ und $G = {{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}}$ .
$P = {A, B, C, D}$ und $G = {{A, B, C}, {A, D}, {B, D}, {C, D}}$ .
$P = {A, B, C, D}$ und $G = {{A, B, C}, {A, D}, {B, D}, {C, D}, {C}}$ .
gar keine

2. Die Inzidenzstruktur aus letztem Bild ist keine Inzidenzgeometrie. Was ist eine richtige Begründung dafür?

(I1) ist nicht erfüllt.
(I2) ist nicht erfüllt.
(I3) ist nicht erfüllt.
Das stimmt gar nicht.

3. Was gilt für die Inzidenzstruktur, die im Bild veranschaulicht wird?

Es ist eine Inzidenzgeometrie.
Man kann eine Anordnung auf dieser Inzidenzgeometrie definieren (z.B. die, die durch das Bild suggeriert wird).
Die Anordnung, die durch das Bild suggeriert wird, erfüllt das Axiom von Pasch.
Man kann auf dieser Inzidenzgeometrie zwei verschiedene Anordnungen definieren, die nicht isomorph sind.

4. Die Inzidenzstruktur aus dem letztem Bild ist keine affine Ebene. Was ist eine Begründung dafür?

Es ist noch nicht einmal eine Inzidenzgeometrie.
Es ist keine angeordnete Inzidenzgeometrie.
Zur Geraden $g_{A B}$ durch $A$ und $B$ und den Punkt $D$ gibt es keine Gerade, die durch $D$ verläuft und $g_{A B}$ nicht schneidet.
Zur Geraden $g_{C D}$ durch $C$ und $D$ und den Punkt $A$ gibt es keine Gerade, die durch $A$ verläuft und $g_{C D}$ nicht schneidet.

5. Was gilt für die im Bild suggerierte Inzidenzstruktur und suggerierte Anordnung?

Es ist eine Inzidenzgeometrie.
Es gilt das Axiom von Pasch.
Es gilt das Parallelenaxiom.
Es gilt das strenge Parallelenaxiom.

6. Für die im letzten Bild suggierte Inzidenzstruktur und Anordnung darauf gibt es keine Kongruenzgruppe. Was ist eine richtige Begründung dafür?

Dann müssten auf jeder Geraden unendlich viele Punkte liegen, was nicht stimmt.
Jeder Isomorphismus dieser angeordneten Inzidenzgeometrie müsste $E$ auf sich selbst abbilden (weil $E$ der einzige Punkt ist, der auf genau zwei Geraden liegt) und damit kann es keinen Isomorphismus geben, der $S (E, A)$ auf $S (A, E)$ abbildet.
Auf $S (A, E)$ liegen drei Punkte auf $S (E, A)$ nur zwei, deshalb kann es keinen Isomorphismus dieser angeordneten Inzidenzgeometrie geben, der den einen Strahl auf den anderen abbildet.
Es gibt nicht genau zwei Isomorphismen dieser angeordneten Inzidenzgeometrie, die $S (A, E)$ auf $S (A, E)$ abbilden.

7. Was ist wann eine Äquivalenzrelation?

Parallelität in affinen Ebenen
Parallelität in angeordneten Inzidenzgeometrien mit Kongruenzen.
Auf derselben Seite einer Geraden liegen für Inzidenzgeometrien mit einer Anordnung.
Auf derselben Seite einer Geraden liegen für angeordnete Inzidenzgeometrien.

8. Sei eine angeordnete Inzidenzgruppe mit Kongruenzen gegeben. Seien $A, B, C, D$ vier paarweise verschiedene Punkte darin. Sei $k$ eine Kongruenz, die $S (A, B)$ auf $S (C, D)$ abbildet, und $ℓ$ eine, die $S (C, D)$ auf $S (A, C)$ abbildet. Sei $h = ℓ \circ k$ . Bei freier Wahl von $k$ und $ℓ$ mit obigen Eigenschaften, wie viele verschiedene Abbildungen $h$ gibt es?

1
2
4
kann man nicht sagen

9. Sei eine angeordnete Inzidenzgeometrie mit Kongruenzen gegeben. Seien $k$ und $ℓ$ Kongruenzen, die $S (A, B)$ auf $S (C, D)$ abbilden. Was gilt?

Es muss $k = ℓ$ sein.
Es ist $k = ℓ$ oder $k = ℓ \circ s_{g}$ , wobei $s_{g}$ die Spiegelung an der Geraden durch $A$ und $B$ ist.
Es ist $k = ℓ$ oder $k = s_{g} \circ ℓ$ , wobei $s_{g}$ die Spiegelung an der Geraden durch $C$ und $D$ ist.
Nichts von obigem.